Black-Scholes сияқты бағалау модельдерін қалай құруға болады
Опциондарды бағалау қиын бизнес болуы мүмкін. Келесі сценарийді қарастырыңыз: 2015 жылдың қаңтарында қоңырау опционын банкоматтың ереуіл құны 155 доллармен сатып алуды жоспарлап отырсыз, бұл сатып алу бағасы жоғары акцияны сатып алумен салыстырғанда опционның кішігірім құнына ( опцион сыйлықақысы ) негізделген жоғары пайыздық кірістен пайда табуды күтуде.
Бүгінгі таңда жылдам жауаптар бере алатын бірнеше Black-Scholes моделі мен биномиалды ағаш моделін қоса, бірнеше түрлі дайын әдістер бар . Мұндай бағалау модельдеріне жету үшін қандай факторлар мен қозғаушы ұғымдар бар? Осы модельдердің тұжырымдамасына негізделген ұқсас нәрсе дайындауға бола ма?
Мұнда біз Black-Scholes (BS) бастауларымен қатарлас салыстыруды қамтамасыз ететін опциондар сияқты активтің бағалау моделін құруға негіз болатын тұжырымдамалар мен факторларды құрайтын негізгі блоктарды қарастырамыз. ) модель.
Бұл мақалада BS моделінің болжамдары мен кез-келген басқа факторларын талқылауға ниет жоқ (бұл мүлдем басқа тақырып); ол Black-Scholes моделінің негізгі тұжырымдамасын бағалау моделін жасау идеясымен бірге түсіндіруге бағытталған.
Қара-Шоллдарға дейінгі әлем
Блэк-Сколзға дейін тепе-теңдікке негізделген капитал активтеріне баға белгілеу моделі (CAPM) кеңінен қолданылды. Инвестордың қалауына сүйене отырып, кірістер мен тәуекелдер бір-бірімен теңдестірілді, яғни тәуекелге бейім жоғары инвесторға ұқсас пропорцияда жоғары кірістермен (потенциалмен) өтеу күтілді.
BS моделі өз тамырын CAPM-ден табады.Фишер Блектің айтуы бойынша: «Мен капиталды активтерге баға белгілеу моделін ордердің қызмет ету мерзіміндегі әр сәтке, акциялардың барлық мүмкін бағалары мен кепілдіктер үшін қолдандым».Өкінішке орай, CAPM ордерлік (опциондық) баға белгілеуталаптарын орындай алмады.
Блэк-Скоулз арбитраж тұжырымдамасына негізделген, тәуекелге негізделген модельдерден (мысалы, CAPM) парадигманы ауыстыратын бірінші модель болып қала береді. Бұл жаңа BS моделін әзірлеу CAPM акцияларын қайтару тұжырымдамасын керемет хеджирленген позиция тәуекелсіз мөлшерлемені алатындығын мойындаумен алмастырды. Бұл тәуекел мен қайтарым ауытқуларын алып тастады және арбитраж тұжырымдамасын орнатты, онда бағалау тәуекелге бейтарап тұжырымдаманың болжамдары бойынша жүзеге асырылады – хеджирленген (тәуекелсіз) позиция тәуекелсіз кірістің мөлшерлемесіне әкелуі керек.
Қара-Шоллдардың дамуы
Мәселені орнатудан, оны санмен анықтаудан және оны шешудің негізін жасаудан бастайық. Біз банкоматқа қоңырау шалу опциясын IBM-де ереуіл бағасымен $ 155-ті қолдану мерзімі аяқталғанға дейін бағалау туралы мысалымызды жалғастырамыз.
Сатып алу опционының негізгі анықтамасы негізінде, егер акциялардың бағасы ереуіл бағасының деңгейіне жетпесе, төлем нөлге тең болады. Бұл деңгейден кейін төлем сызықтық түрде өседі (яғни, доллардың өсуі қоңырау опционынан бір долларлық төлемді қамтамасыз етеді).
Сатып алушы мен сатушы әділ бағалау туралы келісімге келді (нөлдік бағаны ескере отырып), осы опцион үшін теориялық әділ баға келесідей болады:
- Қоңырау опциясының бағасы = $ 0, егер оның негізінде <ереуіл (қызыл график) болса
- Қоңырау опционының бағасы = (базалық – ереуіл), егер негізде> = ереуіл (көк график) болса
Бұл опционның ішкі құнын білдіреді және сатып алушы опционының көзқарасы бойынша мінсіз көрінеді. Қызыл аймақта сатып алушының да, сатушының да әділ бағасы бар (сатушыға нөлдік баға, сатып алушыға нөлдік төлем). Алайда, бағалау мәселесі көгілдір аймақтан басталады, өйткені сатып алушы оң нәтиже береді, ал сатушы шығынға ұшырайды (негізгі баға ереуіл бағасынан жоғары болған жағдайда). Бұл жерде сатып алушының сатушыдан нөлдік бағамен артықшылығы бар. Сатушыға тәуекелдің орнын толтыру үшін баға нөлге тең болмауы керек.
Бұрынғы жағдайда (қызыл график) теориялық тұрғыдан сатушы нөлдік бағаны алады және сатып алушы үшін нөлдік төлем әлеуеті бар (екеуі де бірдей). Соңғы жағдайда (көк график) негізгі және ереуіл арасындағы дифференциалды сатушы сатып алушыға төлеуі керек. Сатушының тәуекелі бір жыл бойына созылады. Мысалы, акциялардың базалық бағасы өте жоғары деңгейге көтерілуі мүмкін (төрт ай ішінде 200 доллар) және сатушы сатып алушыға 45 доллар дифференциалын төлеуі керек.
Осылайша, ол:
- Негізіндегі баға ереуіл бағасынан асып түсе ме?
- Егер бұл болса, базалық баға қаншалықты жоғарылауы мүмкін (бұл сатып алушыға төлемді анықтайды)?
Бұл сатушының қабылдаған үлкен тәуекелін көрсетеді, бұл сұрақ туғызады – неге біреу осындай қоңырауды сатады, егер олар өзіне келген тәуекел үшін ештеңе алмаса?
Біздің мақсатымыз – сатушы сатып алушыдан бір жыл ішінде алған тәуекелдің орнын толтыра алатын біртұтас бағаға жету, яғни нөлдік төлем аймағында (қызыл) және сызықтық төлем аймағында (көк).. Бағасы әділ және сатып алушыға да, сатушыға да қолайлы болуы керек. Егер олай болмаса, онда төлем жасау немесе әділетсіз баға алу жағынан қолайсыздық танытқан адам нарыққа қатыспайды, осылайша сауда бизнесінің мақсатын жояды. Black-Scholes моделі акциялардың тұрақты өзгеруін, ақшаның уақыттық құнын, опционның ереуіл бағасын және опционның аяқталу уақытын ескере отырып, осы әділ бағаны орнатуға бағытталған. BS моделіне ұқсас, біз өз әдістерімізді қолдана отырып, мысалы үшін бұны бағалауға қалай жақындауға болатындығын қарастырайық.
Көк аймақтағы меншікті құндылықты қалай бағалауға болады?
Болашақта берілген уақыт шеңберінде күтілетін баға қозғалысын болжаудың бірнеше әдісі бар:
- Жақын өткен кезеңдегі осындай баға өзгерісіне талдау жасауға болады. IBM-дің жабылуының тарихи бағасы соңғы бір жылда (2014 ж. 2 қаңтар, 2014 ж. 31 желтоқсан), баға 185,53-тен 160,54 долларға дейін төмендеп, 13,5% төмендеді. Біз IBM бағасының -13,5% жылжуын жасай аламыз ба?
- Одан әрі егжей-тегжейлі тексеру оның жыл сайынғы ең жоғары деңгейге – 199,21 долларға (10 сәуір, 2014 ж.) Және ең төменгі деңгейге – 150,5 долларға (16 желтоқсан, 2014 ж.) Қол жеткізгенін көрсетеді. Оларды 2014 жылдың 2 қаңтарында басталатын және 185,53 доллардың жабылу бағасы негізінде пайыздық өзгеріс + 7,37% -18,88% аралығында өзгереді. Енді вариация диапазоны бұрын есептелген 13,5% төмендеуімен салыстырғанда анағұрлым кең көрінеді.
Тарихи деректер бойынша осындай талдау мен байқауларды жүргізуге болады. Баға моделін әзірлеуді жалғастыру үшін болашақтағы ауытқуларды бағалау үшін осы қарапайым әдістемені қарастырайық.
IBM жыл сайын 10% өседі деп есептейік (соңғы 20 жылдық тарихи мәліметтер негізінде). Негізгі статистика IBM акцияларының бағасының + 10% шамасында өзгеру ықтималдығы IBM бағасының 20% өсуіне немесе 30% төмендеуіне қарағанда әлдеқайда жоғары болатынын көрсетеді, егер тарихи заңдылықтар қайталанса. Ықтималдық мәндерімен ұқсас тарихи деректер нүктелерін жинай отырып, IBM акцияларының бір жылдық мерзіміндегі жалпы күтілетін кірісті ықтималдықтар мен байланысты кірістердің орташа мәні ретінде есептеуге болады. Мысалы, IBM-дің тарихи баға деректері келесі қадамдарды көрсетеді делік:
- (-10%) 25%,
- + 35% -да 10%,
- + 20% -да 15%,
- + 20% 10% -дан,
- + 25% 5% есе және
- (-15%) 5% -дан.
Демек, орташа алынған өлшем (немесе күтілетін мән) келесіге келеді:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% – 15% * 5%) / 100% = 6,5%
Яғни, орта есеппен IBM акцияларының бағасы әр доллар үшін бір жыл ішінде + 6,5% қайтады деп күтілуде. Егер біреу IBM акциясын бір жылдық көкжиегімен және сатып алу бағасымен $ 155 сатып алса, таза кірісті 155 * 6,5% = 10,075 доллар деп күтуге болады.
Алайда, бұл қор қайтарымы үшін. Біз қоңырау опциясы үшін ұқсас күтілетін кірістерді іздеуіміз керек.
Ереуіл бағасынан төмен қоңыраудың нөлдік төлемі негізінде (қолданыстағы 155 доллар – банкоматтағы қоңырау) барлық жағымсыз қадамдар нөлдік төлемдерді тудырады, ал ереуіл бағасынан жоғары барлық оң қадамдар балама төлем жасайды. Қоңырау шалу опциясының күтілетін кірісі келесідей болады:
( -0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% – 0 % * 5%) / 100% = 9,75%
Яғни, осы опцияны сатып алуға салынған әрбір 100 доллар үшін 9,75 доллар күтуге болады (жоғарыдағы болжамдарға сүйене отырып).
Алайда, бұл әлі күнге дейін опционның ішкі мөлшерін әділ бағалаумен шектеледі және аралықта пайда болуы мүмкін жоғары тербелістер үшін опцион сатушысы көтеретін тәуекелді дұрыс ұстамайды (жоғарыда айтылған жоғары және төмен интрейстер жағдайында) бағалар). Сатып алушы мен сатушы меншікті мәннен басқа қандай бағамен келісе алады, сонда сатушыға бір жылдық мерзім ішінде алған тәуекел үшін әділ өтемақы төленеді?
Бұл әткеншектер әр түрлі болуы мүмкін және сатушының оған қанша өтемақы алғысы келетіні туралы өзіндік түсіндірмесі болуы мүмкін. Black-Scholes моделі еуропалық типтегі нұсқаларды ұсынады, яғни жарамдылық мерзімі аяқталғанға дейін ешқандай жаттығулар жасалмайды. Осылайша, ол бағаның аралық ауытқуларына әсер етпейді және оны бағалауды сауда-саттық күндеріне негіздейді.
Нақты күнделікті сауда-саттықта бұл құбылмалылық опцион бағаларын анықтауда маңызды рөл атқарады. Біз жиі көретін көк төлем функциясы – бұл жарамдылық мерзімі аяқталған кездегі төлем. Шынында да, опциондық баға (қызғылт график) төлемнен (көк графиктен) әрдайым жоғары, бұл сатушының тәуекелге қабілеттілігін өтеу үшін алған бағасын көрсетеді. Міне, сондықтан опциондық баға «премиум» деп те аталады – бұл тәуекелдік сыйақыны білдіреді.
Мұны акциялар бағасында қаншалықты құбылмалылық күтілетіндігіне және оның қанша пайда әкелетініне байланысты біздің бағалау моделімізге қосуға болады.
Black-Scholes моделі оны тиімді түрде жүзеге асырады (әрине, өз болжамдары бойынша):
BS моделі N (d1) және N (d2) пайдалануды негіздейтін акциялар бағасының қозғалысының логомальді таралуын болжайды.
- Бірінші бөлімде S акциялардың ағымдағы бағасын көрсетеді.
- N (d1) қордың ағымдағы бағалық қозғалысының ықтималдығын көрсетеді.