Black-Scholes моделі

Black-Scholes моделі дегеніміз не?

Black-Scholes моделі, Black-Scholes-Merton (BSM) моделі деп те аталады, опциондық келісімшартқа баға қоюға арналған математикалық модель. Атап айтқанда, модель қаржы құралдарының уақыт бойынша өзгеруін бағалайды.

Негізгі өнімдер

  • Black-Scholes Merton (BSM) моделі – бұл опциондардың бағаларын шешу үшін қолданылатын дифференциалдық теңдеу.
  • Black-Scholes моделі экономика саласындағы Нобель сыйлығын жеңіп алды.
  • Стандартты BSM моделі тек еуропалық опциондарға баға беру үшін қолданылады, өйткені АҚШ опциондарының қолданылу мерзімі аяқталғанға дейін қолданылуы мүмкін екенін ескермейді.




Black Scholes моделін түсіну

Блэк-Скоулз моделі қазіргі қаржы теориясындағы маңызды ұғымдардың бірі болып табылады. Оны 1973 жылы Фишер Блэк, Роберт Мертон және Майрон Скоулс әзірледі және бүгінгі күнге дейін кеңінен қолданылады. Бұл опциондардың әділ бағасын анықтаудың ең жақсы тәсілдерінің бірі ретінде қарастырылады. Блэк-Скоулз моделі үшін бес енгізу айнымалысы қажет: опционның ереуіл бағасы, акциялардың ағымдағы бағасы, аяқталу уақыты, тәуекелсіз мөлшерлеме және құбылмалылық.

Black-Scholes-Merton (BSM) деп те аталады, бұл опциондық баға белгілеудің алғашқы кеңінен қолданылатын моделі болды. Бұл акциялардың ағымдағы бағаларын, күтілетін дивидендтерді, опционның ереуіл бағасын, күтілетін пайыздық мөлшерлемелерді, аяқталуға дейінгі уақытты және күтілетін құбылмалылықты пайдаланып опциондардың теориялық мәнін есептеу үшін қолданылады.


Бастапқы теңдеу Блэк энд Скоулздың 1973 жылы «Саяси экономика» журналында жарияланған «Опциондар мен корпоративті міндеттемелердің бағалары» атты мақаласында енгізілген . Блэк Сколз бен Мертонға туындылардың құнын анықтаудың жаңа әдісін іздестірудегі жұмысы үшін 1997 жылғы экономика саласындағы Нобель сыйлығы берілгеннен екі жыл бұрын қайтыс болды.(Нобель сыйлығы қайтыс болғаннан кейін берілмейді, бірақ Нобель комитеті Блэк-Сколз моделіндегі Блектің рөлін мойындады.)

Black-Scholes акциялар немесе фьючерстік келісімшарттар сияқты құралдар үнемі ауытқу мен құбылмалылықпен кездейсоқ серуендеуден кейін бағалардың легальді бөлінуіне ие болады деп сендіреді. Осы болжамды және факторингті басқа маңызды айнымалыларда қолдана отырып, теңдеу еуропалық стильдегі опцион бағасын шығарады.

Блэк-Шоулс теңдеуі үшін бастапқы деректер болып табылады құбылмалылығы, бағасы  базалық активініңереуіл баға  опционды қолдану мерзімі аяқталған, және тәуекел-тегін дейін опционның, уақыт  пайыздық мөлшерлеме. Осы айнымалылардың көмегімен опционды сатушылар өздері сататын опциондарға ұтымды баға белгілеуі мүмкін.

Сонымен қатар, модель көп сатылатын активтердің бағасы үнемі ауытқу мен құбылмалылықпен геометриялық броундық қозғалысқа сәйкес келеді деп болжайды. Акция опционына қолданған кезде модель акциялардың тұрақты өзгеруін, ақшаның уақыттық құнын, опционның ереуіл бағасы мен опционның аяқталу уақытын қосады.

Блэк-Скоулдың жорамалдары

Black-Scholes моделі белгілі бір болжамдар жасайды:

  • Параметр болып табылады еуропалық және тек болуы мүмкін жүзеге өткен.
  • Опционның қолданылу мерзімі ішінде дивидендтер төленбейді.
  • Нарықтар тиімді (яғни нарықтың қозғалысын болжау мүмкін емес).
  • Опционды сатып алу кезінде транзакциялық шығындар болмайды.
  • Тәуекелсіз ставка базалық және құбылмалылығы белгілі және тұрақты.
  • Негізгі актив бойынша кірістер әдеттегідей бөлінеді.

Блэк-Скоулздың бастапқы моделі опционның қолданылу кезеңінде төленген дивидендтердің әсерін қарастырмағанымен, модель  базалық акциялардың дивидендтер күнінің құнын анықтау арқылы дивидендтерді есепке алуға бейімделген . Опционды сататын көптеген маркет-мейкерлер модельді қолданылу мерзімі аяқталғанға дейін орындалуы мүмкін опциондардың әсерін есепке алу үшін өзгертеді. Балама ретінде, фирмалар пайдалануға болады trinomial үлгісін немесе Bjerksund-Stensland  жиі саудаланатын баға моделі американдық стилі опциялары.

Black-Scholes формуласы

Формулаға қатысатын математика күрделі және қорқынышты болуы мүмкін. Бақытымызға орай, Black-Scholes модельдеуін өзіңіздің стратегияңызда қолдану үшін сізге математиканы білу немесе түсінудің қажеті жоқ. Опцион-трейдерлер әртүрлі онлайн-опциондар калькуляторларына қол жеткізе алады және қазіргі кездегі көптеген сауда платформалары опциондарды талдаудың сенімді құралдарымен мақтана алады, оның ішінде индикаторлар мен кестелер, есептеулер жүргізетін және опциондардың баға мәндерін шығаратын кестелер.

Блэк-Скоулстің қоңырау опционының формуласы акциялар бағасын жинақталған стандартты ықтималдықты үлестіру функциясына көбейту арқылы есептеледі. Осыдан кейін ереуіл бағасының жинақталған стандартты үлестіріміне көбейтілген таза дисконтталған құны (NPV) алдыңғы есептеудің нәтижелік мәнінен алынады.

Математикалық белгілерде:

Құбылмалылық

Блэк-Скоулз акция бағалары қалыпты үлестірімге сәйкес келеді деп болжайды, өйткені активтердің бағалары теріс болмауы мүмкін (олар нөлмен шектеледі). Бұл Гаусс  таралуы деп те аталады .

Көбінесе, активтер бағасының оң қисаюы  және куртоздың (май құйрықтары) біршама дәрежесі  байқалады . Бұл дегеніміз, нарықта тәуекелдің төмендеуі әдеттегі таралудың болжауынан жиі орын алады.

Логинальды базалық активтер бағаларының болжамдары, Блэк-Скоулз үлгісіне сәйкес, құбылмалылықтың әрбір ереуіл бағасына ұқсас екендігін көрсетуі керек. Алайда, 1987 жылғы нарықтық құлдырау кезінен бастап, қолма-қол ақшаға арналған опциондардың құбылмалылығы ақшадан тыс немесе ақшамен салыстырғанда төмен болды. Бұл құбылыстың себебі – бұл нарықтағы бағалардың жоғары құбылмалылықтың төмендеу жағына қарай жылжу ықтималдығында.

Бұл құбылмалылықтың пайда болуына әкелді. Жарамдылық мерзімі бірдей опциялардың болжамды құбылмалылығы   графикке түсірілгенде, күлімсіреу немесе қисайған пішін көрінеді. Осылайша, Black-Scholes моделі болжамды құбылмалылықты есептеу үшін тиімді емес.

Black-Scholes моделінің шектеулері

Бұрын айтылғандай, Black-Scholes моделі тек еуропалық опциондарға баға беру үшін қолданылады және АҚШ опциондарының қолданылу мерзімі аяқталғанға дейін қолданылуы мүмкін екенін ескермейді. Сонымен қатар, модель дивидендтерді алады және тәуекелсіз мөлшерлемелер тұрақты болады, бірақ бұл шындыққа сәйкес келмеуі мүмкін. Сондай- ақ, модель опционның қызмет ету мерзімінде өзгергіштікті өзгертпейді деп болжайды, бұл олай емес, өйткені құбылмалылық сұраныс пен ұсыныс деңгейіне байланысты өзгеріп отырады.

Сонымен қатар, басқа болжамдар – операциялар бойынша шығындар мен салықтар жоқ; барлық өтеу мерзімі үшін тәуекелсіз пайыздық мөлшерлеме тұрақты болатындығы; кірістерді пайдалана отырып, бағалы қағаздарды қысқа мерзімде сатуға рұқсат етіледі; және арбитраждың тәуекелсіз мүмкіндігі жоқ – бұл факторлар бар нақты әлемнен ауытқуға әкелуі мүмкін.

Жиі Қойылатын Сұрақтар

Black-Scholes моделі не істейді?

Black-Scholes, сондай-ақ Black-Scholes-Merton (BSM) деп те аталады, опциондық баға белгілеудің алғашқы кең қолданылатын моделі болды. Акциялар акциялары немесе фьючерстік келісімшарттар сияқты құралдар тұрақты ауытқу мен құбылмалылықпен кездейсоқ серуендеуден кейін бағалардың легальді таралуына ие болады және басқа маңызды айнымалыларға факторинг жасайды деген болжамға сүйене отырып, теңдеу еуропалық стильдегі қоңырау бағасын шығарады опция. Мұны акциялар бағасынан көбейтілген стандартты үлестірімге көбейтілген ереуіл бағасының таза дисконтталған құнын (NPV) шегеру және ықтималдықтың стандартты үлестіру функциясы арқылы жасайды.

Black-Scholes моделі үшін қандай деректер бар?

Блэк-Схолз теңдеуінің деректері құбылмалылық, базалық активтің бағасы, опционның страйк бағасы, опционның бітуіне дейінгі уақыт және тәуекелсіз пайыздық мөлшерлеме болып табылады. Осы айнымалылардың көмегімен опцион сатушылар өздері сататын опциондарға ұтымды баға белгілеуі мүмкін.

Black-Scholes моделі қандай болжамдар жасайды?

Black-Scholes моделі белгілі бір болжамдар жасайды. Олардың ішіндегі бастысы – бұл опция еуропалық болып табылады және оны тек қолданылу мерзімі аяқталған кезде қолдануға болады. Басқа болжамдар – опционның қолданылу мерзімі ішінде дивидендтер төленбейді; нарықтар тиімді (яғни нарықтың қозғалысын болжауға болмайды); опционды сатып алу кезінде ешқандай транзакциялық шығындар болмайтындығы; тәуекелсіз мөлшерлеме мен құбылмалылық белгілі және тұрақты; және базалық актив бойынша кірістер әдеттегідей бөлінеді.

Black-Scholes моделінің шектеулері қандай?

Black-Scholes моделі тек еуропалық опциондарға баға беру үшін қолданылады және АҚШ опциондарының қолданылу мерзімі аяқталғанға дейін қолданылуы мүмкін екенін ескермейді. Сонымен қатар, модель дивидендтерді алады және тәуекелсіз мөлшерлемелер тұрақты болады, бірақ бұл шындыққа сәйкес келмеуі мүмкін. Сондай-ақ, модель опционның қызмет ету мерзімінде өзгергіштікті өзгертпейді деп болжайды, бұл олай емес, өйткені құбылмалылық сұраныс пен ұсыныс деңгейіне байланысты өзгеріп отырады.

Сонымен қатар, басқа болжамдар – операциялар бойынша шығындар мен салықтар жоқ; барлық өтеу мерзімі үшін тәуекелсіз пайыздық мөлшерлеме тұрақты болатындығы; кірістерді пайдалана отырып, бағалы қағаздарды қысқа мерзімде сатуға рұқсат етіледі; және арбитраждың тәуекелсіз мүмкіндігі жоқ – бұл факторлар бар нақты әлемнен ауытқуға әкелуі мүмкін.