Бэйс теоремасының анықтамасы
Байес теоремасы дегеніміз не?
18 ғасырдағы британдық математик Томас Бэйстің атымен аталған Бэйс теоремасы – шартты ықтималдықты анықтауға арналған математикалық формула. Шартты ықтималдылық – бұл алдыңғы нәтижеге негізделген нәтиженің пайда болу ықтималдығы. Бэйс теоремасы жаңа болжамдарды немесе теорияларды қайта қарау әдісін ұсынады (ықтималдығын жаңартады) жаңа немесе қосымша дәлелдер келтіреді. Қаржы саласында Байес теоремасын әлеуетті қарыз алушыларға несие беру тәуекелін бағалау үшін пайдалануға болады.
Бэйс теоремасы Бэйс ережесі немесе Бэйес заңы деп те аталады және Бэйес статистикасының негізі болып табылады.
Негізгі өнімдер
- Бэйс теоремасы оқиғаның болжамды ықтималдығын жаңа ақпаратты қосу арқылы жаңартуға мүмкіндік береді.
- Бэйс теоремасы 18 ғасырдағы математик Томас Бэйстің атымен аталды.
- Ол көбінесе қаржы саласында тәуекелдерді бағалауды жаңартуда қолданылады.
Бэйс теоремасын түсіну
Теореманың қолданылуы кең таралған және қаржылық саламен шектелмейді. Мысал ретінде, Байес теоремасын кез-келген адамның ауруға шалдығу ықтималдығын және тесттің жалпы дәлдігін ескере отырып, медициналық тест нәтижелерінің дәлдігін анықтауға болады. Байес теоремасы артқы ықтималдықтарды қалыптастыру үшін алдын-ала ықтималдық үлестірімдерін қосуға негізделген. Алдыңғы ықтималдық, Байес статистикалық қорытындысында – бұл оқиғаның жаңа деректер жиналмай тұрып пайда болу ықтималдығы. Бұл эксперимент жасалмас бұрын ағымдағы білімге негізделген нәтиже ықтималдығын ең жақсы ұтымды бағалау. Артқы ықтималдық – бұл оқиғаның жаңа ақпаратты ескергеннен кейін пайда болу ықтималдығы. Артқы ықтималдық Бэйс теоремасын қолдану арқылы алдыңғы ықтималдылықты жаңарту арқылы есептеледі. Статистикалық тұрғыдан алғанда, артқы ықтималдық – бұл B оқиғасы болған жағдайда А оқиғаның болу ықтималдығы.
Осылайша, Бэйс теоремасы оқиғаның ықтималдығын осы оқиғаға қатысты немесе байланысты болуы мүмкін жаңа ақпаратқа негізделген береді. Сондай-ақ, формула оқиғаның пайда болу ықтималдығына гипотетикалық жаңа ақпараттың қалай әсер ететіндігін көруге болады, егер жаңа ақпарат шын болып шығады деп болжасақ. Мысалы, 52 картаның толық палубасынан бір карта шығарылды делік. Картаның патша болу ықтималдығы төртке 52-ге бөлінеді, бұл 1/13 немесе шамамен 7,69% құрайды. Палубада төрт патша бар екенін ұмытпаңыз. Енді таңдалған картаның бет картасы екендігі анықталды делік. Таңдалған картаның патша болу ықтималдығы, егер ол бет картасы болса, төртеуі 12-ге бөлінеді немесе шамамен 33,3%, өйткені палубада 12 бет картасы бар.
Байес теоремасының формуласы
Бэйс теоремасының мысалдары
Төменде Байес теоремасының екі мысалы келтірілген, онда бірінші мысалда Amazon.com Inc ( AMZN ) көмегімен акцияны инвестициялау мысалында формуланы қалай алуға болатындығы көрсетілген. Екінші мысал, Байес теоремасын фармацевтикалық дәрі-дәрмектерді сынауға қолданады.
Бэйс теоремасының формуласын шығару
Бэйс теоремасы жай шартты ықтималдық аксиомаларынан туындайды. Шартты ықтималдық – бұл оқиғаның басқа оқиғаның болғандығын ескеру ықтималдығы. Мысалы, ықтималдық туралы қарапайым сұрақ: «Amazon.com акцияларының бағасының төмендеу ықтималдығы қандай?» Деген сұрақ туындауы мүмкін. Шартты ықтималдық бастарсың қадам одан әрі бұл сұраққа алады: «AMZN қор бағасы ықтималдығы төмендейді қандай екенін ескерсек Dow Jones Industrial Average? (DJIA) индексі бұрын құлап»
Берілген А-ның шартты ықтималдығын келесі түрде көрсетуге болады:
Егер A: «AMZN бағасы құлайды» болса, онда P (AMZN) – AMZN түсуінің ықтималдығы; және B – «DJIA қазірдің өзінде құлап қалған», ал P (DJIA) – DJIA-ның құлау ықтималдығы; содан кейін шартты ықтималдық өрнегі «DJIA төмендеуі кезінде AMZN-нің түсу ықтималдығы DJZA индексінің төмендеу ықтималдығына байланысты AMZN бағасының төмендеуі мен DJIA-ның төмендеу ықтималдығына тең.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN және DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN және DJIA) ықтималдығы екі А және орын В. Бұл сондай-ақ А-ның пайда болу ықтималдығын көбейтетін А-ның пайда болу ықтималдығына көбейтіндісімен бірдей, P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) түрінде көрсетілген. Осы екі өрнектің тең болуы Бэйс теоремасына алып келеді, ол келесідей жазылады:
егер, P (AMZN және DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
сонда, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Мұндағы P (AMZN) және P (DJIA) – бұл Амазон мен Доу Джонстың бір-біріне қарамай құлау ықтималдығы.
Формула P (AMZN) деген дәлелді көргенге дейінгі гипотезаның ықтималдығы мен Dow-та Амазонкаға берілген гипотезаны келтіре отырып, P (AMZN | DJIA) дәлелдерін алғаннан кейінгі гипотезаның ықтималдығы арасындағы байланысты түсіндіреді.
Байес теоремасының сандық мысалы
Сандық мысал ретінде 98% дәл есірткі сынағы бар деп елестетіп көріңіз, яғни уақыттың 98% -ы есірткіні қолданатын адам үшін шынайы оң нәтиже көрсетеді, ал 98% -ы оны пайдаланбайтындар үшін шынайы теріс нәтиже көрсетеді есірткі. Әрі қарай, адамдардың 0,5% -ы есірткіні қолданады деп болжаймыз. Егер кездейсоқ тестілерде таңдалған адам препаратқа оң нәтиже берсе, келесі есептеулер жүргізуге болады, егер бұл адам есірткіні қолданушы болса.
(0.98 x 0.005) / [(0.98 x 0.005) + ((1 – 0.98) x (1 – 0.005))] = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76%
Бэйес теоремасы көрсеткендей, егер адам осы сценарийде оң нәтиже көрсеткен болса да, бұл адам есірткіні қолданушы емес.