Дыбыссыздықтың қолданылуы мен шегі


Инвесторлар жоғары кірістер туралы уәдеге назар аударғанды ​​ұнатады, бірақ олар осы кірістердің орнына қанша тәуекелге бару керектігін сұрауы керек. Тәуекел туралы біз жалпы мағынада жиі айтсақ та, тәуекел мен сыйақының өзара байланысының формальды көріністері де бар.


Мысалы, Шарп коэффициенті тәуекелдің бірлігіне артық кірісті өлшейді, мұнда тәуекел дәстүрлі және танымал тәуекел шарасы болып табылатын құбылмалылық ретінде есептеледі. Оның статистикалық қасиеттері белгілі және ол бірнеше шеңберлерге енеді, мысалы, заманауи портфолио теориясы және Блэк-Сколз моделі. Бұл мақалада біз оның қолданылуы мен шектерін түсіну үшін құбылмалылықты қарастырамыз.

Жыл сайынғы стандартты ауытқу

Болжалды құбылмалылықтан айырмашылығы – бұл опциондық баға теориясына жатады және нарықтық консенсусқа негізделген болашақты бағалау болып табылады – тұрақты құбылмалылық артқа көрінеді. Атап айтқанда, ол жылдық болып табылады стандартты ауытқу туралы тарихи қайтару.

Стандартты ауытқуға сүйенетін дәстүрлі тәуекел шеңберлері, әдетте, қайтару қалыпты қоңырау тәрізді үлестірімге сәйкес келеді деп болжайды. Қалыпты үлестіру бізге ыңғайлы нұсқаулар береді: уақыттың шамамен үштен екісі (68,3%), кірістер бір стандартты ауытқуға сәйкес келуі керек (+/-); және уақыттың 95% қайтарымы екі стандартты ауытқуға сәйкес келуі керек. Қалыпты таралу графигінің екі қасиеті – арық «құйрықтар» және мінсіз симметрия. Жіңішке құйрықтар орташа деңгейден үш стандартты ауытқулардан алшақтықтың өте төмен пайда болуын білдіреді (шамамен 0,3%). Симметрия жоғары көтерілудің жиілігі мен шамасы кері шығындардың айнадағы бейнесі екенін білдіреді.

Демек, дәстүрлі модельдер барлық белгісіздіктерді бағытына қарамастан тәуекел ретінде қарастырады. Көптеген адамдар көрсеткендей, егер кірістер симметриялы болмаса, бұл проблема болып табылады – инвесторлар өздерінің шығындары бойынша орташадан «солға» алаңдайды, бірақ олар орташадан оңға қарай пайда табуға алаңдамайды.

Төмендегі осы сиқырды екі ойдан шығарылған акциялармен бейнелейміз. Құлап жатқан акциялар (көк сызық) мүлдем дисперсиясыз, сондықтан нөлдік құбылмалылықты тудырады, бірақ өсіп келе жатқан акциялар – өйткені ол бірнеше кері соққыларды көрсетеді, бірақ бір тамшы да емес – 10% тұрақсыздықты (стандартты ауытқуды) тудырады.

Теориялық қасиеттер

Мысалы, 2004 жылғы 31 қаңтардағы жағдай бойынша S&P 500 индексінің өзгергіштігін есептегенде 14,7% -дан 21,1% -ке дейін аламыз. Неліктен мұндай диапазон? Себебі біз аралықты да, тарихи кезеңді де таңдауымыз керек. Аралыққа қатысты біз ай сайынғы, апта сайынғы немесе күнделікті (тіпті күн ішіндегі) кірістерді жинай аламыз. Біздің қайтару сериямыз үш жыл, бес жыл немесе 10 жыл сияқты кез келген тарихи кезеңге созылуы мүмкін. Төменде біз үш түрлі аралықты қолдана отырып, 10 жыл ішінде S&P 500 кірісінің стандартты ауытқуын есептедік:

Интервалдың ұлғаюына байланысты құбылмалылықтың артып келе жатқанына назар аударыңыз, бірақ олардың пропорциясы шамалас емес: апта сайын күнделікті мөлшерден бес есеге, ал айлық аптасына төрт есеге жуық болмайды. Біз кездейсоқ серуендеу теориясының негізгі аспектісіне келдік : уақыттың квадрат тамырына пропорционалды стандартты ауытқу шкалалары (жоғарылайды). Демек, егер күн сайынғы стандартты ауытқу 1,1% болса, ал егер жылына 250 сауда күні болса, онда жылдық стандартты ауытқу дегеніміз – күнделікті квадраттық ауытқу дегеніміз – 250-дің квадрат түбіріне көбейтілген 1,1% (1,1% х 15,8 = 18,1%). Бұл біле отырып, біз аламыз annualize жылына аралығы санының квадрат түбірін көбейту арқылы S & P 500 аралығы стандартты ауытқу:

Тағы бір құбылмалылықтың теориялық қасиеті сізді таңқалдыруы мүмкін немесе таң қалдырмауы да мүмкін: ол қайтып оралады. Бұл кездейсоқ серуендеу идеясының негізгі жорамалына байланысты: қайтарым процентпен өрнектеледі. Елестетіп көріңіз, сіз 100 доллардан бастайсыз, содан кейін 110 доллар алу үшін 10% аласыз. Сонда сіз 10% жоғалтасыз, бұл сізге $ 99 ($ ​​110 x 90% = $ 99). Сонда сіз қайтадан 10% -ды жинап, $ 108.90 таза боласыз ($ 99 x 110% = $ 108.9). Ақырында, сіз 98,01 долларға дейін 10% жоғалтасыз. Бұл интуитивті болуы мүмкін, бірақ сіздің орташа табысыңыз 0% болса да, сіздің директорыңыз баяу жойылып барады!

Егер сіз, мысалы, жылына орташа 10% өсімді күтсеңіз (яғни, орташа арифметикалық), онда сіздің ұзақ мерзімді күтілетін табысыңыз жылына 10% -дан аз болады. Іс жүзінде ол дисперсияның шамамен жартысына азаяды (мұндағы дисперсия – орташа ауытқу квадратына тең). Төмендегі таза гипотетикалық түрде біз 100 доллардан бастаймыз, содан кейін бес жылдық құбылмалылықты 157 доллармен аяқтаймыз:

Қайтарулар жақсы өңделген бе? Теориялық негіз сөзсіз талғампаз, бірақ ол өзін-өзі дұрыс ұстауға байланысты. Атап айтқанда, қалыпты үлестіру және кездейсоқ серуендеу (яғни бір кезеңнен келесі кезеңге тәуелсіздік). Бұл шындықпен қалай салыстырылады? Біз төмендегі S&P 500 және Nasdaq үшін соңғы 10 жылдағы күнделікті табыстарды жинадық (шамамен 2500 күнделікті бақылау):

Сіз күткендей, Nasdaq тұрақсыздығы (жылдық стандартты ауытқуы 28,8%) S&P 500 құбылмалылығынан үлкен (жылдық стандартты ауытқу 18,1%). Қалыпты үлестіру мен нақты қайтарым арасындағы екі айырмашылықты байқауға болады. Біріншіден, нақты кірістердің биік шыңдары бар – бұл орташа деңгейге жақын кірістердің артықшылығын білдіреді. Екіншіден, нақты кірістердің құйрығы майлы болады. (Біздің зерттеулеріміз кеңейтілген академиялық зерттеулермен біршама сәйкес келеді, олар биік шыңдар мен май құйрықтарын табуға бейім; бұл үшін техникалық термин – куртоз ). Айталық, минус үш стандартты ауытқуды үлкен шығын деп санаймыз: S&P 500 тәулігіне минус үш стандартты ауытқуды шамамен -3,4% уақыт аралығында жоғалтты. Қалыпты қисық 10 жыл ішінде мұндай шығын шамамен үш рет болады деп болжайды, бірақ іс жүзінде бұл 14 рет болды!

Бұл жекелеген аралық қайтарымдардың үлестірімдері, бірақ уақыт бойынша пайда туралы теория не айтады? Сынақ ретінде жоғарыдағы S&P 500-дің күнделікті таралуын қарастырайық. Бұл жағдайда орташа жылдық кірістілік (соңғы 10 жыл ішінде) шамамен 10,6% -ды құрады және талқыланғандай, жылдық құбылмалылық 18,1% -ды құрады. Мұнда біз 100 доллардан бастап, оны 10 жыл бойы ұстай отырып, гипотетикалық сынақ жүргіземіз, бірақ біз жыл сайын инвестицияларды кездейсоқ нәтижеге алып келеміз, орташа есеппен 18,1% ауытқуымен 10,6% құрады. Бұл сынақ Монте-Карлоның имитациясы деп аталатын етіп 500 рет жасалды. 500 сынақтың бағасының соңғы нәтижелері төменде көрсетілген:

Қалыпты үлестіру тек қалыпты емес бағалық нәтижелерді бөлектеу үшін фон ретінде көрсетіледі. Техникалық тұрғыдан бағалардың соңғы нәтижелері легальді болып табылады (егер х осі х-тің табиғи журналына айналдырылса, таралу қалыпты болып көрінетінін білдіреді). Мәселе мынада: бағалардың бірнеше нәтижелері оң жаққа қарай өтеді: 500 сынақтың ішінен алты нәтиже кезеңнің соңында $ 700 нәтиже берді! Бұл құнды нәтижелер жыл сайын 10 жыл ішінде орташа есеппен 20% -дан астам ақша жинады. Баланстың төмендеуі пайыздық шығындардың жиынтық әсерін төмендететіндіктен, сол жақта біз тек 50 доллардан аз болатын бірнеше нәтиже алдық. Қиын идеяны қорытындылау үшін, пайыздық қатынаста көрсетілген интервалдық кірістер қалыпты түрде бөлінеді, бірақ бағалардың соңғы нәтижелері логикалық түрде бөлінеді деп айтуға болады.

Сонымен, біздің сынақтарымыздың тағы бір нәтижесі құбылмалылықтың «эрозия әсеріне» сәйкес келеді: егер сіздің инвестицияларыңыз жыл сайын орташа есеппен жұмыс істейтін болса, сіз соңында 273 долларға ие болар едіңіз (10,6% 10 жыл ішінде). Бірақ бұл экспериментте біздің жалпы күтілетін пайда 250 долларға жақын болды. Басқаша айтқанда, орташа (арифметикалық) жылдық өсім 10,6% құрады, бірақ жинақталған (геометриялық) өсім аз болды.

Біздің модельдеуіміз кездейсоқ серуендеуді қабылдайтынын есте ұстаған жөн: ол бір кезеңнен келесі кезеңге оралуы мүлдем тәуелсіз деп санайды. Біз мұны ешқандай тәсілмен дәлелдеген жоқпыз, және бұл ұсақ-түйек болжам емес. Егер сіз кірістердің үрдістерге сәйкес келетіндігіне сенімді болсаңыз, онда сіз олардың оң сериялық корреляцияны көрсететінін техникалық тұрғыдан айтасыз. Егер сіз олар орташа мәнге қайта оралды деп ойласаңыз, онда сіз техникалық тұрғыдан теріс сериялық корреляция көрсетеді деп айтасыз. Екі ұстаным да тәуелсіздікке сәйкес келмейді.

Төменгі сызықтың өзгергіштігі – қайтарымның жыл сайынғы стандартты ауытқуы. Дәстүрлі теориялық шеңберде ол тек тәуекелді өлшеп қана қоймай, ұзақ мерзімді (көп кезеңді) кірістерді күтуге әсер етеді. Осылайша, интервалды кірістер қалыпты түрде бөлінген және тәуелсіз деген күмәнді болжамдарды қабылдауды сұрайды. Егер бұл болжамдар шындыққа сәйкес келсе, жоғары құбылмалылық – екі жақты қылыш: ол сіздің күткен ұзақ мерзімді табыстарыңызды жояды (ол арифметикалық орташаны геометриялық ортаға дейін төмендетеді), бірақ сонымен қатар сізге бірнеше үлкен жетістіктерге жетуге мүмкіндік береді.